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Kreis mit Spule

Kreis mit Spule

Da

Kreis mit Spule

In diesem Beispiel ist eine elektrische Schaltung, bestehend aus einer Wechselspannungsquelle und einer Spule gegeben.

../_images/Kreis_mit_L_3Diagramme.svg

Abb. 13 Kreis mit Spule

Analytische Verfahren (reellen Zeitbereich)

Für eine Spule besteht die Beziehung

\[ u = L \frac{di}{dt} \]

zwischen Spannung und Strom. Die Spannung \(u\) ist also stets gleich der durch die Änderung des magnetischen Flusses verursachten Selbstinduktionsspannung. Bei einer positiven Spannung \(u\), nimmt also der Strom zu. Bei einer negative Spannung \(u\), nimmt der Strom ab.

In diesem Beispiel sei die Spannung wieder mit

\[ u = \hat{u} \text{cos} \, \omega t \]

gegeben.

Bemerkung

Es ist für diese Schaltung allerdings leichter, mit einem gegebenen Strom zu starten. Der Stromverlauf sei mit

\[ i = \hat{i} \text{sin} \, \omega t \]

gegeben. Eingesetzt in die Ableitung

\[ u = L \frac{di}{dt} = L \frac{d(\hat{i} \text{sin} \, \omega t)}{dt} = \hat{i} \, \omega L \, \text{cos} \omega t \]

erhalten wir also die Beziehung \(u = \hat{i} \, \omega L \, \text{cos} \, \omega t\). Für eine gegebene Spannung

\[ u = \hat{u} \text{cos} \, \omega t \]

erhalten wir den Strom

\[ i = \frac{\hat{u}}{\omega L} \text{sin} \, \omega t. \]

Die Spannung eilt dem Strom um den Phasenwinkel

\[ \varphi = \pi/2 = 90^{°} \]

vor.

Für die Scheitelwerte \(\hat{i}\) und \(\hat{u}\) gilt die Beziehung

\[ \hat{i} = \frac{\hat{u}}{\omega L}, \]

welche hier von der Kreisfrequenz \(\omega\) abhängig ist.

import numpy as np
from scipy import signal

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.lines import Line2D
from matplotlib import animation, rcParams
plt.style.use('ggplot')
from IPython.display import HTML

# define parameters
uh = 1
L = 2
w = 1

t = np.linspace(0,np.pi*2,180) # time

u = uh*np.cos(w*t) # voltage
ih = uh/(w*L)
i = ih*np.sin(w*t) # current

plt.plot(t,u,label='u')
plt.plot(t,i,label='i')
plt.title("Analytisch Signale")
plt.xlabel(r'\omega t')
plt.ylabel(r'u, i')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f99284ac9a0>
../_images/wk_L_12_1.png

Komplexe Wechselstromrechnung

Die Wechselstromrechnung vereinfacht diese Rechnung wieder. Durch das Teilen der Gleichung

\[ \hat{i} = \frac{\hat{u}}{\omega L} \]

mit \(\sqrt{2}\) erhalten wir die Effektivwerte für die Spannung

\[ U = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \]

und den Strom

\[ I = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}}. \]

Auch für die Effektivwerte gilt die Gleichung

\[ I = \frac{U}{\omega L}. \]

Der Vergleich mit dem ohmschen Gesetz \(I=U/R\) zeigt, dass der Ausdruck \(wL\) dem eines Widerstandes entspricht. Wir wollen für \(wL\) ein eigenes Symbol

\[ X_L = \omega L \]

einführen. Diese Größe wird als (induktiver) Blindwiderstand oder als Reaktanz bezeichnet und hat die Einheit Ohm. Der Kehrwert

\[ B_L = - \frac{1}{\omega L} \]

des Blindwiderstands wird als (induktiver) Blindleitwert oder als Suszeptanz bezeichnet und wird oft durch negative Zahlenwerte angegeben.

Tipp

Es ist auch hier wieder einfach mit dem Strom zu starten. Wir geben den Strom wieder in der Form des ich drehenden komplexen Zeigers

\[ \underline{I} = I e^{j\omega t} \]

an. Mit dem Zusammenhang

\[ \underline{U} = L \frac{d \underline{I}}{dt} \]

erhalten wir für die Spannung

\[ \underline{U} = j \omega L I e^{j \omega t} = j \omega L \underline{I}. \]

Betrachten wir die Spannung als gegeben so erhalten wir den Strom durch ein umstellen

\[ \underline{I} = \frac{1}{j \omega L} \underline{U} = \frac{-j}{\omega L} \underline{U}. \]

Der Ausdruck

\[ j X_L = j \omega L \]

wird als Impedanz der Spule bezeichnet. Als Admittanz

\[ jB_L = \frac{1}{jX_L} = - j \frac{1}{X_L} = - j \frac{1}{\omega L} \]

wir der Kehrwert von \(jX_L\) bezeichnet.

Tipp

Namen

Symbole

Beispiel

Blindwiderstand / Reaktanz

\(X_L\)

\(\omega L\)

Blindleitwert / Reaktanz

\(B_L\)

\(-\frac{1}{\omega L}\)

Impedanz

\(jX_L\)

\(j \omega L\)

Admittanz

\(jB_L\)

\(-\frac{f}{\omega L}\)

 
U = uh / np.sqrt(2)

Uc = U*np.exp(1j*w*t)
Ic = 1/(1j*w*L)*Uc

plt.plot(t,Uc.real, label=r'Real (Uc)')
plt.plot(t,Uc.imag, label=r'Imag (Uc)')
plt.title('Komplexes Spannungssignal')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f98743f13a0>
../_images/wk_L_21_1.png 
plt.plot(t,Ic.real, label=r'Real (Ic)')
plt.plot(t,Ic.imag, label=r'Imag (Ic)')
plt.title('Komplexes Stromsignal')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f98742f1d30>
../_images/wk_L_22_1.png 
plt.plot(t,Uc.real, label='U')
plt.plot(t,Ic.real, label='I')
plt.title('Spannungs und Stromverläufe')
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x7f98742fcac0>
../_images/wk_L_23_1.png

Übertragungsfunktion, Frequenzgang, Bodediagramm

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion für diese Schaltung lautet

\[ G(s) = \frac{I(s)}{U(s)} = \frac{1}{s L} \]

wobei hier die Spannung \(U(s)\) als Eingang und der Strom \(I(s)\) als Ausgang aufgefasst wird. Diese Schaltung ist also ein I-Glied der Form \(\frac{\omega_0}{s}\).

Frequenzgang

In der Wechselstromrechnung sind wir nicht an der Übertragungsfunktion \(G(s)\) sondern an dem Frequenzgang \(G(j\omega)\) interessiert. Mit \(\sigma = 0\) in \(s=\sigma+j\omega\) gelingt uns der Übergang von einer Laplace-Übertragungsfunktion \(G(s)\) in den Frequenzgang \(G(j\omega)\) Der Frequenzgang ist nun eine komplexwertige Funktion über die (Kreis-) Frequenz und kann in verschiedenen Schreibweisen dargestellt werden.

Die Schreibweise des Frequenzgangs:

  • mit Real- und Imaginärteil

\[ G(j \omega) = \text{Re} \, G(j \omega) + j \text{Im} \, G(j \omega) \]

  • mit Betrag und Phase

\[\begin{split} \begin{split} G(j \omega) &= \left\vert G(j \omega) \right\vert e^{j \varphi(j \omega )} \\ \left\vert G(j \omega) \right\vert &= \sqrt{(\text{Re} \, G(j \omega))^2+(\text{Im} \, G(j \omega))^2} \qquad \text{Betrag} \\ \varphi(j \omega) &= arctan \left( \frac{\text{Im} \, G(j \omega)}{\text{Re} \, G(j \omega)} \right) \qquad \text{Phase} \end{split} \end{split}\]

Bodediagramm

Das Bodediagramm ist die graphische Darstellung des Frequenzgangs.

  • x-Achsen: Die Frequenz / Kreisfrequenz wird logarithmisch dargestellt, womit große Frequenzbereiche darstellen lassen.

  • y-Achse: Der Betrag des Frequenzgangs wird in Dezibel (\(20 log(|G|)\)) oder logarithmisch dargestellt. => Amplitudengang

  • y-Achse: Die Phasenverschiebung des Frequenzgangs wird linear aufgetragen. => Phasengang

Wir können die Hilfe für Funktionen einfach mit help(function) aufrufen, Im Falle des scipy Bode Diagramms lautetet es help(signal.bode).

 #help(signal.bode)

sys = signal.TransferFunction([0, 1], [L, 0])
wbode, mag, phase = signal.bode(sys) # w: [rad/s], mag: [dB], phase: [deg]

/home/johannes/miniconda3/envs/python-cybernetics/lib/python3.9/site-packages/scipy/signal/filter_design.py:1631: BadCoefficients: Badly conditioned filter coefficients (numerator): the results may be meaningless
  warnings.warn("Badly conditioned filter coefficients (numerator): the "

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(211)
plt.semilogx(wbode, mag)    # bode magnitude plot
plt.title('Magnitude')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Mag in dB')
plt.subplot(212)
plt.semilogx(wbode, phase)  # bode phase plot
plt.title('Phase')
plt.xlabel(r'$\omega$')
plt.ylabel(r'Phase in °')
plt.ylim(-190,190)
plt.tight_layout(pad=1.0) # more space between plots
plt.show()
../_images/wk_L_28_0.png

Animation

class PointersSignalsAnimation(animation.TimedAnimation):
    def __init__(self,tc,Uc,Ic):
        fig = plt.figure(figsize=(20,6))
        rcParams.update({'font.size': 16})
        ax1 = fig.add_subplot(1, 2, 1)
        ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 2)

        self.t = tc
        self.x1 = Uc.real
        self.y1 = Uc.imag
        
        self.x2 = Ic.real
        self.y2 = Ic.imag

        ax1.set_xlabel('x')
        ax1.set_ylabel('y')
        self.line1Uc, = ax1.plot([], [], '-', lw=2, label='Complex Arrow', color='green')
        self.line1UcReal, = ax1.plot([], [], ':', lw=2, label='Real Part', color='green')
        self.line1UcImag, = ax1.plot([], [], '--o', lw=2, label='Imag Part', color='green')
        self.line1Ic, = ax1.plot([], [], '-', lw=2, label='Complex Arrow', color='red')
        self.line1IcReal, = ax1.plot([], [], ':', lw=2, label='Real Part', color='red')
        self.line1IcImag, = ax1.plot([], [], '--o', lw=2, label='Imag Part', color='red')
        ax1.legend()
        ax1.axis('equal')
        ax1.set(xlim=(-4,4),ylim=(-1, 1))

        ax2.set_xlabel('t')
        ax2.set_ylabel('y')
        self.line2Uc = Line2D([], [], color='green')
        self.line2UcImag, = ax2.plot([], [], '--o', lw=2, color='green', label='U')
        self.line2UcHead = Line2D([], [], color='green', marker='o', markeredgecolor='g')
        self.line2Ic = Line2D([], [], color='red')
        self.line2IcImag, = ax2.plot([], [], '--o', lw=2, color='red', label='I')
        self.line2IcHead = Line2D([], [], color='red', marker='o', markeredgecolor='r')
        ax2.legend()
        ax2.add_line(self.line2Uc)
        ax2.add_line(self.line2UcHead)
        ax2.add_line(self.line2Ic)
        ax2.add_line(self.line2IcHead)
        ax2.set_xlim(0, 2*np.pi)
        ax2.set_ylim(-1, 1)

        animation.TimedAnimation.__init__(self, fig, interval=50, blit=True)
        fig.tight_layout()
        plt.close()

    def _draw_frame(self, framedata):
        i = framedata
        head = i - 1
        
        xc = [0, self.x1[i]]
        yc = [0, self.y1[i]]
        xr = [0, self.x1[i]]
        yr = [0, 0]
        xi = [self.x1[i], self.x1[i]]
        yi = [0, self.y1[i]]

        self.line1Uc.set_data(xc, yc)
        self.line1UcReal.set_data(xr, yr)
        self.line1UcImag.set_data(xi, yi)
        
        x2c = [0, self.x2[i]]
        y2c = [0, self.y2[i]]
        x2r = [0, self.x2[i]]
        y2r = [0, 0]
        x2i = [self.x2[i], self.x2[i]]
        y2i = [0, self.y2[i]]
        
        self.line1Ic.set_data(x2c, y2c)
        self.line1IcReal.set_data(x2r, y2r)
        self.line1IcImag.set_data(x2i, y2i)

        self.line2Uc.set_data(self.t[:i], self.y1[:i])
        x1l = [self.t[head], self.t[head]]
        y1l = [0, self.y1[head]]
        self.line2UcImag.set_data(x1l, y1l)
        self.line2UcHead.set_data(self.t[head], self.y1[head])
        
        self.line2Ic.set_data(self.t[:i], self.y2[:i])
        x2l = [self.t[head], self.t[head]]
        y2l = [0, self.y2[head]]
        self.line2IcImag.set_data(x2l, y2l)
        self.line2IcHead.set_data(self.t[head], self.y2[head])


        self._drawn_artists = [self.line1Uc, self.line1UcReal, self.line1UcImag, self.line1Ic, self.line1IcReal, self.line1IcImag,
                               self.line2Uc, self.line2UcImag, self.line2UcHead, self.line2Ic, self.line2IcImag, self.line2IcHead]

    def new_frame_seq(self):
        return iter(range(self.t.size))

    def _init_draw(self):
        lines = [self.line1Uc, self.line1UcReal, self.line1UcImag, self.line1Ic, self.line1IcReal, self.line1IcImag,
                 self.line2Uc, self.line2UcImag, self.line2UcHead, self.line2Ic, self.line2IcImag, self.line2IcHead]
        for l in lines:
            l.set_data([], [])

ani = PointersSignalsAnimation(t,1j*Uc,1j*Ic)
# ani.save('test_sub.mp4')

HTML(ani.to_jshtml())

Wir sehen hier, dass der Spannungszeiger dem Stromzeiger um \(90°\) vorauseilt.

Fazit

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Kreis mit Kondensator